Question

如圖，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圓O的直徑DE=12cm，矩形DEFG的寬EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在BC所在的直線上，設運動時間為x（s），矩形量角器和△ABC的重疊部分的面積為S（cm²），當x=0（s）時，點E與點C重合。

（1）當x=3時，如圖（2），S=______cm²，當x=6時，S=_______cm²，當x=9時，S=______cm²；
（2）當3＜x＜6時，求S關于x的函數(shù)關系式；
（3）當6＜x＜9時，求S關于x的函數(shù)關系式；
（4）當x為何值時，△ABC的斜邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

解：（1）36，54，18；
（2）設矩形DEFG與斜邊AB的交點分別為N、H，與直角邊AC的交點為M
BE=12-2x，AM=12-6=6
∴S=S_△ABC-S_△AMN -S_△BHE=×12×12-×6×6-×（12-2x）²
=-2x²+24x-18
所以，當3＜x＜6時，S=-2x²+24x-18。
（3）設矩形DEFG與斜邊AB的交點為M，延長FG交AC于點H
AH=12-6=6，HG=2x-12
∴S=S_△ABC-S_△AHM-S_矩形HCDG
=×12×12-×6×6-×6×（2x-12）
=-12x+126
所以， 當6＜x＜9時，S=-12x+126。
（4）①過點O作OD⊥AB于點D，由題意得OD=6
∵∠ABC=45°，∠ODB=90°
∴OB==6
∴x₁=（秒）
②過點O作OE⊥AB，交AB的延長線于點E，由題意得OE=6
∵∠OBE=45°，∠OEB=90°
∴OB==6
∴x₂=（秒）
故當x等于（9-）秒或（9+）秒時，△ABC的斜邊所在的直線與半圓O所在的圓相切。