Question

（2004•上海模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinB=，F是AB上一點，過點F作DF⊥AB于F，交BC于E，交AC延長線于D，連CF，若S_△BEF=4S_△CDE，CE=5．
（1）求AC的長；（2）求S_△CEF．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△BFE∽△DCE，根據面積之間的關系式可得到相應的相似比，利用CE長，那么可求得BE長，進而求得BC，利用sinB的值和勾股定理即可求得AC長；
（2）利用sinB可求得BF、FE，由于△CEF和△BEF同高，那么面積的比就等于底邊的比．按此計算即可．
解答：解：（1）∵∠BFE=∠BCD=90°，∠FEB=∠DEC
∴△BFE∽△DCE
∵S_△BEF=4S_△CDE，
∴S_△BEF：S_△DEC=4：1
∴EF：EC=2：1
∵CE=5，
∴EF=10，
∵sinB=，
∴BE=，
∴BC=
設AC=5k，則AB=7k
∵AB²-AC²=BC²，
∴49k²-25k²=（）²
解得k=（負值舍去）
∴AC=5×=；

（2）∵sinB=，BE=
EF=10；∴BF=4
S_△BFE=BF×EF÷2=20
∵BE：EC=：5
∴S_△CEF=．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質以及解直角三角形的應用等知識．