Question

如圖，任意畫一個∠A＝60º的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD交AB、CE于點D、E，BE和CD交于點P，連結AP．以下結論：

①∠BPC＝120°；②PD＝PE；③BC＝BD＋CE；④S_?PBD＋S_?PCE＝S_?PBC ；⑤AD＋AE＝AP。

其中正確的序號是    。

 

Answer 1

【答案】

①②③④⑤

【解析】

試題分析：解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC=60°，

∴∠PBC+∠PCB=（180°-∠BAC）=（180°-60°）=60°，

∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，故①正確；

∵∠BPC=120°，∴∠DPE=120°，

過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，

∴AP是∠BAC的平分線，PF=PG=PH，

∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，∴∠FPG=120°，∴∠DPF=∠EPG，在△PFD與△PGE中，

∵

∴△PFD≌△PGE，∴PD=PE，

在Rt△BHP與Rt△BFP中，

∵PF=PH，BP=BP

∴Rt△BHP≌Rt△BFP，同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，

∴BH=BD+DF①，CH=CE-GE②，兩式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，

∵DF=EG，∴BC=BD+CE，∴S△PBD+S△PCE=S△PBC，故③④正確；

∵AP是∠BAC的平分線，∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAP=30°，

∴AD-DF=AF=AP，AE+EG=AP，

∵DF=EG，∴AD+AE=AP，故⑤正確．

考點：全等三角形等

點評：本題難度較大，主要考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．