Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(,0)為圓心，以為半徑圓與x軸相交于點(diǎn)B，C，與y軸相交于點(diǎn)D，E.

(1)若拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)B是否在該拋物線上。

（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使得△PBD的周長最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）設(shè)Q為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1），

　　　　　，

　　　　　又在中，，

　　　　　

　　　　　的坐標(biāo)為

　　　　又D,C兩點(diǎn)在拋物線上，

　　　　　解得

　　　　　拋物線的解析式為：

　　　　　當(dāng)時，

　　　　　點(diǎn)在拋物線上

　　　　（2）

　　　　　　　　

　　　　　　　拋物線的對稱軸方程為

　　　　　　　在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，使的周長最小．

　　　　　　　的長為定值　　　要使周長最小只需最�。�

　　　　　　　連結(jié)DC，則DC與對稱軸的交點(diǎn)即為使周長最小的點(diǎn)．

　　　　　　　設(shè)直線DC的解析式為．

　　　　　　　由得

　　　　　　　直線DC的解析式為

　　　　　　　由得

　　　　　　　故點(diǎn)P的坐標(biāo)為

　　　　　（3）存在，設(shè)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上要使四邊形為平行四邊形，則且，點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)．

　　　　　　于是，過點(diǎn)作直線與拋物線交于點(diǎn)

　　　　　　由得

　　　　　　從而，

　　　　　　故在拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形．