Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90゜，G為AB中點(diǎn)，在線段DG上取點(diǎn)F，使FG=AG，過點(diǎn)F作FE⊥DG交AD于點(diǎn)E，連接EC交DG于點(diǎn)H，已知EC平分∠DEF．
求證：
（1）∠AFB=90゜； 
（2）AF∥EC；
（3）DH•FG=FH•DG．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)FG=AG=BG，即可推出答案；
（2）求出∠EFA=∠EAF，推出2∠FEH=2∠EFA，推出∠FEH=∠EFA，根據(jù)平行線判定推出即可；
（3）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出

DH

FH

=

DE

EA

，證△EFD∽△GAD，推出

DE

EF

=

DG

AG

，代入求出

DE

EA

=

DG

FG

，推出

DH

FH

=

DG

FG

即可．

解答：證明：（1）∵G為AB的中點(diǎn)，
∴AG=BG，又FG=AG，
∴FG=AG=BG，即FG=

1

2

AB，
∴∠AFB=90°．

（2）∵FG=AG，
∴∠GFA=∠GAF，
又EF⊥FD，
∴∠EFG=∠EAG=90°，
∴∠EFG-∠GFA=∠EAG-∠GAF，即∠EFA=∠EAF，
又EC為∠DEF的平分線，
∴∠DEC=∠FEC，
∵∠DEF為△EAF的外角，
∴∠DEF=∠DEC+∠FEC=2∠FEC=∠EFA+∠EAF=2∠EFA，
∴∠FEC=∠EFA，
∴AF∥EC．

（3）∵AF∥EC，
∴

DH

FH

=

DE

EA

，
∵∠EFD=∠GAD=90°，∠EDF=∠GDA，
∴△EFD∽△GAD，
∴

DE

EF

=

DG

AG

，
∵∠EFA=∠EAF，
∴AE=EF，
又∵AG=FG，
∴

DE

EA

=

DG

FG

，
∴

DH

FH

=

DG

FG

，
即DH•FG=FH•DG．

點(diǎn)評：本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，直角三角形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，難度偏大．