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精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
設正n邊形的半徑為R，邊長為an，邊心距為rn，則它們之間的數量關系是
an=2Rsin
180°
n
，rn=Rcos
180°
n
an=2Rsin
180°
n
，rn=Rcos
180°
n
．這個正n邊形的面積Sn=
2nR2sin
180°
n
cos
180°
n
2nR2sin
180°
n
cos
180°
n
．
分析：先根據題意畫出圖形，根據正n邊形的半徑為R，得出圓的半徑為R，由垂徑定理及銳角三角函數的定義即可求解．
解答：解：如圖所示，過點O作OF⊥AB于點F交圓O于點E，
設正n邊形的半徑為R，則圓的半徑為R，
∵∠AOF=
360°
2n
=
180°
n
，
∴AB=2AF=2Rsin
180°
n
；
同理，∵∠ODE=
360°
2n
=
180°
n
，
∴OF=Rcos
180°
n
，
∴邊長為an=2Rsin
180°
n
，
邊心距為rn=Rcos
180°
n
，則它們之間的數量關系是：an=2Rsin
180°
n
，rn=Rcos
180°
n
，
正n邊形的面積Sn=n•2Rsin
180°
n
×Rcos
180°
n
=2nR2sin
180°
n
cos
180°
n
．
故答案為：an=2Rsin
180°
n
，rn=Rcos
180°
n
，2nR2sin
180°
n
cos
180°
n
．
點評：本題考查的是正多邊形和圓、垂徑定理及銳角三角函數的定義，根據題意畫出圖形，利用數形結合是解答此題的關鍵．
練習冊系列答案
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D．18Rsin40°

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