Question

【題目】（1）探究：

問題：如圖1，等邊三角形ABC的邊長為6，點O是∠ABC和∠ACB的角平分線交點，∠FOG＝120°，繞點O任意旋轉∠FOG，分別交△ABC的兩邊于D，E兩點求四邊形ODBE的面積．

討論：

①甲：在∠FOG旋轉過程中，當OF經過點B時，OG一定經過點C．

②乙：小明的分析有道理，這樣，我們就可以利用“ASA”證出△ODB≌△OEC．

③丙：因為△ODB≌△OEC，所以只要算出△OBC的面積就得出了四邊形ODBE的面積．

老師：同學們的思路很清晰，也很正確，在分析和解決問題時，我們經常會借用特例作輔助線來解決一般問題請你按照探究的思路，直接寫出四邊形ODBE的面積：________．

（2）應用：

①特例：如圖2，∠FOG的頂點O在等邊三角形ABC的邊BC上，OB＝2，OC＝4，邊OG⊥AC于點E，OF⊥AB于點D，求△BOD面積．

②探究：如圖3，已知∠FOG＝60°，頂點O在等邊三角形ABC的邊BC上，OB＝2，OC＝4，記△BOD的面積為x，△COE的面積為y，求xy的值．

Answer 1

【答案】探究：3；應用：①；②12.

【解析】

（1）（1）由“ASA”可證△DOB≌△EOC，可得S△DOB=S△EOC，可得S△OBC=四邊形ODBE的面積，即可求解；

（2）①由直角三角形的性質可求OD，BD的長，即可求解；
②過點O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，可求OM=，ON=2，通過證明△BDO∽△COE，可得=，可得BDEC=OBOC=8，即可求解；

解：（1）方法引導：

如圖1，連接OB，OC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵點O是∠ABC和∠ACB的角平分線交點，

∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴OB＝OC，∠BOC＝∠FOG＝120°，

∴∠DOB＝∠COE，且OB＝OC，∠ABO＝∠BCO，

∴△DOB≌△EOC（ASA）

∴S△DOB＝S△EOC，

∴S△OBC＝四邊形ODBE的面積，

∵等邊三角形ABC的邊長為6，

∴S△ABC＝×62＝9，

∴S△OBC＝四邊形ODBE的面積＝S△ABC＝3，

故答案為：3；

（2）①∵△ABC是等邊三角形，∠B＝60°，

∵OF⊥AB，

∴∠BOD＝30°，

∵OB＝2，

∴BD＝1，

∴OD＝，

∴△BOD的面積＝×1×＝；

②過點O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，

由①得：OM＝，同理：ON＝2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠DOC＝∠B+∠BDO＝∠DOG+∠COG，且∠FOG＝60°，

∴∠COG＝∠BDO，且∠B＝∠C＝60°，

∴△BDO∽△COE，

∴=,

∴BDEC＝OBOC＝8，

∴xy＝×BD×××CE×2＝12；