Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，連結(jié)CD、DB、AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABDC的面積；
（3）設(shè)Q是拋物線上一點(diǎn)，連結(jié)BC、QB、QC，把△QBC沿直線BC翻折得到△Q′BC，若四邊形QBQ′C為菱形，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，所以把點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中得到關(guān)于b和c的方程，聯(lián)立解出b和c，即可得到拋物線的解析式；
（2）令y=0即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再分割四邊形求出即可；
（3）若四邊形QBQ′C為菱形，根據(jù)菱形對(duì)角線的性質(zhì)得到QQ′垂直平分BC，得到點(diǎn)Q在線段BC的垂直平分線上，由OB等于OC得到直線QQ′平分角COB，即可求出QQ′的解析式為y=x，將y=x與拋物線的解析式聯(lián)立即可求出Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：

-1-b+c=0 c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，

（2）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥OB于點(diǎn)E，
令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），
∴四邊形ABDC的面積=S_△AOC+S_梯形COED+S_△DEB
=

1

2

×AO×CO+

1

2

（CO+DE）×EO+

1

2

×EB×DE，
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4，
=

3

2

+

7

2

+4，
=9；

（3）如圖2，若四邊形QBQ′C為菱形，則QQ′垂直平分BC，
∴點(diǎn)Q在線段BC的垂直平分線上，
∵OC=OB，
∴直線QQ′平分∠BOC，
即：直線QQ′的解析式為y=x，
∵點(diǎn)Q在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x，
解得x=

1± 13

2

，
∴Q（

1+ 13

2

，

1+ 13

2

）或（

1- 13

2

，

1- 13

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及兩三角形相似的證明方法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想得出是解題關(guān)鍵．