Question

已知：如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，BE=AC，延長(zhǎng)BE交于AC于F，求證：AF=EF．

Answer 1

分析：延長(zhǎng)AD至M，使DM=AD，連接BM，利用邊角邊證明△ACD和△MBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠M=∠CAD，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=BM，從而得到BM=BE，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠M=∠BEM，然后推出∠AEF=∠CAD，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可得證．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)AD至M，使DM=AD，連接BM，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△ACD和△MBD中，

DM=AD ∠ADC=∠MDB BD=CD

，
∴△ACD≌△MBD（SAS），
∴∠M=∠CAD，AC=BM，
∵BE=AC，
∴BM=BE，
∴∠M=∠BEM，
∴∠BEM=∠CAD，
∵∠BEM=∠AEF（對(duì)頂角相等），
∴∠AEF=∠CAD，
∴AF=EF（等角對(duì)等邊）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角的判定與性質(zhì)，“遇中線加倍延”，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，本題還用到了等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊的性質(zhì)．