Question

7．如圖，正比例函數y=-$\frac{1}{2}$x的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象分別交于M、N兩點，已知點M（-2，m）
（1）求反比例函數的表達式；
（2）若點P為y軸上的一點，當∠MPN=90°時，求出點P的坐標；
（3）若點Q是x軸上一點，且滿足△MQN的面積為4，求出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）把M點坐標代入正比例函數解析式可求得m的值，可求得M點坐標，代入反比例函數解析式可求得反比例函數解析式；
（2）聯立兩函數解析式可求得N點坐標，設P（0，y），可表示出PM、PN和MN，利用勾股定理可得到關于y的方程，可求得y的值，則可求得P點坐標；
（3）設Q（x，0），則可表示OQ的長，利用S_△MQN=S_△MOQ+S_△NOQ可得到關于x的方程，可求得x的值，則可求得Q點的坐標．

解答 解：
（1）∵M（-2，m）在正比例函數y=-$\frac{1}{2}$x的圖象上，
∴m=-$\frac{1}{2}$×（-2）=1，
∴M（-2，1），
∵M在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=-2×1=-2，
∴反比例函數表達式為y=-$\frac{2}{x}$；

（2）聯立正比例函數和反比例函數解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴N（2，-1），
設P（0，y），且M（-2，1），
∴PM²=2²+（y-1）²=y²-2y+5，PN²=2²+（y+1）²=y²+2y+5，MN²=（2+2）²+（-1-1）²=20，
∵∠MPN=90°，
∴PM²+PN²=MN²，
∴y²-2y+5+y²+2y+5=20，解得y=±$\sqrt{5}$，
∴P點坐標為（0，$\sqrt{5}$）或（0，-$\sqrt{5}$）；

（3）如圖，過M作MC⊥x軸，ND⊥x軸，垂足分別為C、D，

則MC=ND=1，
設Q（x，0），則OQ=|x|，
∴S_△MQN=S_△MOQ+S_△NOQ=$\frac{1}{2}$OQ•MC+$\frac{1}{2}$OQ•ND=$\frac{1}{2}$|x|×2=|x|，
∴|x|=4，解得x=4或x=-4，
∴Q點坐標為（4，0）或（-4，0）．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、勾股定理、三角形的面積及方程思想等知識．在（1）中求得M點坐標是解題的關鍵，在（2）中用P點坐標表示出PM、PN的長是解題的關鍵，在（3）中用Q點的坐標表示出△MQN的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．