Question

18．在精準(zhǔn)對口扶貧活動中，甲單位將經(jīng)營狀況良好的某種專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款還沒有償還的乙戶，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證乙戶的一家人每月最低生活費的開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費（不計利息）．從甲單位提供的相關(guān)資料中可知這種消費品的進價是每件14元；月銷售量Q（百件）與銷售單價P（元）的關(guān)系如圖所示；維持的正常運轉(zhuǎn)每月需工資外的各種開支2000元．
（1）寫出月銷售量Q（百件）與銷售單價P（元）的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)商品的銷售單價為多少元時，扣除一家人最低生活費后的月利潤余額最大？
（3）乙戶依靠該店，最早可望在幾年內(nèi)脫貧？

Answer 1

分析 （1）代入點（20，10）（30，5）即可求得Q與P的函數(shù)關(guān)系式；
（2）月利潤為W，可得出W關(guān)于P的二次函數(shù)，即可解題；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，根據(jù)每月都是最大利潤時脫貧需要月份即可解題．

解答 （1）由圖象可知，月銷售量Q（百件）與銷售單價P（元）是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)Q=Px+b，
則代入（20，10）（30，5），可得$\left\{\begin{array}{l}{10=20P+b}\\{5=30P+b}\end{array}\right.$，
解得：P=-$\frac{1}{2}$，b=20，
∴月銷售量Q（百件）與銷售單價P（元）的函數(shù)關(guān)系式為Q=-$\frac{1}{2}$P+20；
（2）設(shè)月利潤為W，則有W=100 Q（P-14）-（2000+3600）
=100（-$\frac{1}{2}$P+20）（x-14）-（2000+3600）
=-50P²+2700P-33600，
當(dāng)P=-$\frac{2700}{2×（-50）}$=27時，W有最大值；
∴當(dāng)銷售單價為27元時，月利潤余額最大；
（3）設(shè)x 年內(nèi)可脫貧，由（2）知當(dāng)P=27時，W有最大值為2850，
當(dāng)月利潤為2850元時，需要2850×12x≥50000+58000，
解得：x≥3.2，
∴乙戶依靠該店，最早可望在3.2年內(nèi)脫貧．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．最大月利潤的問題常利用二次函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．