Question

如圖，OP平分∠MON，點A與B，點C與D分別在射線OM、ON上，且AB=CD
（1）△ABP與△PCD的面積是否相等？請說明理由．
（2）當OA=OC時，求證：△ABP≌△CDP．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）作PG⊥OM于G，PH⊥ON于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PG=PH，然后根據(jù)三角形的面積公式即可證得△ABP與△PCD的面積相等；
（2）根據(jù)SAS證得△OPB≌△OPD和△OPA≌△OPC分別求得PB=PD，PA=PC，再根據(jù)SSS即可證得△ABP≌△CDP．

解答： 解：（1）作PG⊥OM于G，PH⊥ON于H，
∵OP平分∠MON，
∴PG=PH，
∵S_△ABP=

1

2

AB•PG，S_△PCD=

1

2

CD•PH，AB=CD，
∴S_△ABP=S_△PCD，
所以△ABP與△PCD的面積是否相等；
（2）∵AB=CD，OA=OC，
∴OB=OD，
在△OPB與△OPD中，

OB=OD ∠BOP=∠DOP OP=OP

，
∴△OPB≌△OPD（SAS），
∴PB=PD，
在△OPA與△OPC中，

OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△OPA≌△OPC（SAS），
∴PA=PC，
在△ABP與△CDP中，

PA=PC PB=PD AB=CD

，
∴△ABP≌△CDP（SSS）．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．