Question

20．如圖1，拋物線y=ax²-4ax+c與x軸交于A（-2，0）、B兩點，與y軸交于點C，AB=2OC，點D是OC中點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是x軸下方拋物線上的一點，若S_△PDB=3S_△ODB，求點P坐標(biāo)；
（3）如圖3，點E是第一象限拋物線上的點，且ED=EB，若G也是第一象限拋物線上的點，且∠CEG=∠ABD+∠CED，求點G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的點關(guān)于對稱軸對稱，可得B點坐標(biāo)，根據(jù)AB與OC的關(guān)系，可得C點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PN的長，根據(jù)面積的和差，可得△PBD的面積，根據(jù)S_△PDB=3S_△ODB，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于e的方程，根據(jù)解方程，可得E點坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理及逆定理，可得∠EDB的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角，可得∠EDB=∠ABD+∠H，根據(jù)等腰直角三角形，可得R的坐標(biāo)，根據(jù)解方程組，可得G點坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∵A（-2，0），B點與A點關(guān)于對稱軸對稱，得B（6，0）．
∴AB=8．
∵AB=2OC=8，
∴OC=4，
∴c=4，C（0，4）．
將A，C坐標(biāo)代入y=ax²-4ax+c，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4．

（2）∵OC=2OD，
∴OD=2，D（0，2），
∴S_△ODB=$\frac{1}{2}$OD×OB=6．
∴BD的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2
過點P作PM⊥x軸于M，PM延長線交BD于N，如圖1，
．
∴N（m，-$\frac{1}{3}$m+2）
設(shè)P（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+4），
∴PN=-$\frac{1}{3}$m+2-（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+4）=$\frac{1}{3}$m²-$\frac{5}{3}$m-2
∴S_△PDB=S_△PNB-S_△PND=$\frac{1}{2}$PN（BM-OM）=$\frac{1}{2}$PN×OB=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$m²-$\frac{5}{3}$m-2）×6．
S_△PDB=3S_△ODB，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$m²-$\frac{5}{3}$m-2）×6=3×6，整理，得
m²-5m-24=0，
解得m₁=-3，m₂=8，
∴P點坐標(biāo)為（-3，-3）或（8，-$\frac{20}{3}$）．
（3）過點E作ER⊥y軸于R，ES⊥x軸于S，如圖2，
，
∴ED²=ER²+DR²，EB²=ES²+BS²
∵ED=EB．
設(shè)E（e，-$\frac{1}{3}$e²+$\frac{4}{3}$e+4）
∴e²+（-$\frac{1}{3}$e²+$\frac{4}{3}$e+2）²=（6-e）²+（-$\frac{1}{3}$e²+$\frac{4}{3}$e+4）²，
（-$\frac{1}{3}$e²+$\frac{4}{3}$e+2）²-（-$\frac{1}{3}$e²+$\frac{4}{3}$e+4）²=（6-e）²-e²，
整理得e²+5e-36=0
解得e₁=4，e₂=-9（舍去）．
∴E（4，4），
∵R與C重合，EC∥x軸，在Rt△ECD中，
勾股定理得DE=$\sqrt{D{C}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BE=2$\sqrt{5}$．
在Rt△BOD中，勾股定理得，BD=$\sqrt{D{O}^{2}+B{O}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴DE²+BE²=BD²，
∠DEB=90°，
∴∠EDB=45°．
延長ED交x軸于點H．
∴∠EDB=∠ABD+∠H，
∵∠CED=∠H，
∴∠ABD+CED=45°．
作∠CEI=45°交y軸于點I，交拋物線于點G．
∴△ECI是等腰直角三角形，IC=CE=4．
∴I（0，8）
∴直線IE的解析式為y=-x+8．
設(shè)G點橫坐標(biāo)為g，則-g+8=-$\frac{1}{3}$g²+$\frac{4}{3}$g+4，整理，得
g²-7g+12=0，解得g₁=3，g₂=4（舍去）
∴G點坐標(biāo)為（3，5）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用S_△PDB=3S_△ODB得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵；利用三角形的外角得出∠EDB=∠ABD+∠H=45°=∠GEC是解題關(guān)鍵．