Question

已知：函數(shù)y=ax²+x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。

（1）求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖所示，設(shè)二次函數(shù)y=ax²+x+1圖象的頂點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為A，P為圖象上的一點(diǎn)，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）中，若圓與x軸另一交點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)為M，試探索點(diǎn)M是否在拋物線y=ax²+x+1上，若在拋物線上，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，y=x+1，圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)， 當(dāng)a≠0時(shí)，△=1-4a=0，a=，此時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴函數(shù)的解析式為：y=x+1或y=x2+x+1； （2）設(shè)P為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x 軸于點(diǎn)C， ∵y=ax2+x+1是二次函數(shù)，由（1）知該函數(shù)關(guān)系式為：y=x2+x+1，則頂點(diǎn)為B（-2，0）， 圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，1）， ∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B， ∴PB⊥AB，則∠PBC=∠BAO， ∴Rt△PCB∽R(shí)t△BOA， ∴，故PC=2BC， 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）， ∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角， ∴∠PBO是鈍角， ∴x<-2， ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-4-2x）， ∵點(diǎn)P在二次函數(shù)y=x2+x+1的圖象上， ∴-4-2x=x2+x+1， 解之得：x1=-2，x2=-10， ∵x<-2， ∴x=-10， ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-10，16）； （3）點(diǎn)M不在拋物線y=ax2+x+1上， 由（2）知：C為圓與x軸的另一交點(diǎn)，連接CM， CM與直線PB的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D， 取CD的中點(diǎn)E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ， ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE， ∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x軸， ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB， ∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=， CE=2QE=2×2BE=4BE， 又CB=8，故BE=，QE=， ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，）， 可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∵， ∴C點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)M不在拋物線y=ax2+x+1上。