Question

已知，如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的高，∠BAC的平分線分別交CD、BC于E、F，F(xiàn)G⊥AB垂足為點(diǎn)G．求證：CE=FG．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CF=FG，由HL定理得出△ACF≌△AGF，故可得出∠AFC=∠AFG，再由平行線的性質(zhì)得出∠AFG=∠AED，由對頂角相等可知∠AED=∠CEF，故可得出∠CEF=∠AFC，由此可得出結(jié)論．

解答：證明：∵AF是∠BAC的平分線，∠ACB=90°，F(xiàn)G⊥AB，
∴CF=FG．
在Rt△ACF與Rt△AGF中，
∵

AF=AF CF=FG

，
∴△ACF≌△AGF（HL），
∴∠AFC=∠AFG．
∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠AFG=∠AED．
∵∠AED與∠CEF是對頂角，
∴∠AED=∠CEF，
∴∠CEF=∠AFC，
∴CE=CF，
∴CE=FG．

點(diǎn)評：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．