Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于D，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．
（1）求證：CG是⊙O的切線；
（2）若∠EAB=30°，CF=2，求AG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，欲證明CG是⊙O的切線，只要證明OC⊥CG即可．
（2）連接AC，先證明△AOC是等邊三角形，求出AF、DF、AD，再根據(jù)CG∥AE得$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AD}{AG}$，由此即可計算．

解答 （1）證明：連接OC．
∵AE是弦，C是劣弧AE的中點，
∴OC⊥AE．，
∵CG∥AE，
∴OC⊥GC，
∴CG是⊙O的切線．
（2）解：連接AC．
∵∠EAB=30°，CG∥AE，
∴∠G=∠EAB=30°，
∵CG是⊙O的切線，
∴∠GCO=90°，
∴∠COA=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠CAO=60°，
∴∠CAF=30°，
可求∠ACD=30°，
∴AF=CF=2，
∵∠EAB=30°，
∴DF=1，AD=$\sqrt{3}$，
∵CG∥AE，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AD}{AG}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{AG}$，
∴AG=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查切線的判定和性質、平行線的性質、等邊三角形的判定和性質、直角三角形30度角性質、垂徑定理等知識，解題的關鍵是掌握切線的判定方法，靈活運用圓的有關知識，屬于中考�？碱}型．