Question

15．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為為x₁，x₂，其中-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，下列結(jié)論：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b²+8a＞4ac，④a＞-1，其中結(jié)論正確的有（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①：根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象，可得x=2時(shí)，y＜0，所以4a+2b+c＜0，據(jù)此判斷即可．
②：根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸小于1，可得$-\frac{2a}＜1$，所以2a+b＜0，據(jù)此判斷即可．
③：根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的最大值大于2，可得$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$＞2，所以b²+8a＞4ac，據(jù)此判斷即可．
④：根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象，可得當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c＜0，當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c=2，當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c＜0，據(jù)此判斷出a＜-1即可．

解答 解：∵x=2時(shí)，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
∴結(jié)論①正確；
∵$-\frac{2a}＜1$，
∴2a+b＜0，
∴結(jié)論②正確；
∵$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$＞2，
∴b²+8a＞4ac，
∴結(jié)論③正確；
當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c＜0…（1），
當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c=2…（2），
當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c＜0…（3），
由（2），可得
2a+2b+2c=4…（4），
由（2）（3），可得
2a+2c＜2…（5），
由（1）（4），可得
2a-c＜-4，
∴4a-2c＜-8…（6），
由（5）（6），可得
6a＜-6，
∵a＜-1，
∴結(jié)論④錯(cuò)誤．
∴正確的結(jié)論有3個(gè)：①②③．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱：左同右異）③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．