Question

4．如圖，等邊△ABO放置在平面直角坐標系中，OA=4，動點P、Q同時從O、B兩點出發(fā)，分別沿OA、BO方向勻速運動，它們的速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點A時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為x（s）（0＜x＜4），解答下列問題：
（1）求點Q的坐標（用含x的代數(shù)式表示）
（2）設△OPQ的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）是否存在某個時刻x，使△OPQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$個平方單位？若存在，求出相應的x值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點Q作QD⊥OA于點D，解直角三角形QOD，分別求出OD，QD和x的關(guān)系式，即可得到點Q的坐標；
（2）由三角形面積公式可得s與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用配方法求得其最大值即可；
（3）存在某個時刻x的值，使△OPQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$個平方單位，由（2）可知把y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$代入求出對應的x值即可．

解答 解：
（1）過點Q作QD⊥OA于點D，如圖所示：
∵△ABO是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∵動點Q從B點出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，
∴BQ=x，
∴OQ=4-x，
在Rt△QOD中，OD=OQ•cos60°=（4-x）×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$x，
QD=OQ•sin60°=（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴點Q的坐標為（2-$\frac{1}{2}$x，2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）；
（2）∵動點P從O點出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，
∴OP=x，
∴S=$\frac{1}{2}$OP•QD=$\frac{1}{2}$x（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x，
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²+$\sqrt{3}$（0＜x＜4），
∵a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴當x=2時，S有最大值，最大值為$\sqrt{3}$；
（3）存在某個時刻x的值，使△OPQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$個平方單位，理由如下：，
假設存在某個時刻，使△OPQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$個平方單位，
由（2）可知）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
解得x=1或x=3，
∵0＜x＜4，
∴x=1或x=3都成了，
即當x=1s或3s時，能使△OPQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$個平方單位．

點評 本題主要考查了和三角形有關(guān)的知識，其中用到了二次函數(shù)的最值、等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的銳角的銳角三角函數(shù)值、解一元二次方程、圖形面積的求法，題目的綜合性較強，對學生的計算能力要求很高，是一道不錯的中考壓軸題目．