Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長最�。咳舸嬖�，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣x+4；(2)P(3，)；(3)N(，﹣3)．

【解析】

（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（6，4），連接BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)△PAB的周長最小，求出直線BA′的解析式，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．

解：(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5)，

把點(diǎn)A(0，4)代入上式得：a=，

∴y=(x﹣1)(x﹣5)=x2﹣x+4；=(x﹣3)2﹣，

(2)∵點(diǎn)A(0，4)，拋物線的對(duì)稱軸是x=3，

∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(6，4)，

如圖1，連接BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)△PAB的周長最小．

設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b，

把A′(6，4)，B(1，0)代入得，解得，

∴y=x﹣，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，

∴y=×3﹣=，

∴P(3，)；

(3)設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N(t，t2﹣t+4)(0＜t＜5)，

如圖2，過點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G，作AD⊥NG于D，

由點(diǎn)A(0，4)和點(diǎn)C(5，0)可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4，

把x=t代入得：y=﹣t+4，則G(t，﹣t+4)，

此時(shí)：NG=﹣t+4﹣(t2﹣t+4)=﹣t2+4t，

∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NGOC=×(﹣t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣)2+，

∴當(dāng)t=時(shí)，△CAN面積的最大值為，

由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，

∴N(，﹣3)．