Question

如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120°．動點P、Q同時從點A出發(fā)，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路線向點C運動．當P、Q到達終點C時，整個運動隨之結(jié)束，設運動時間為t秒．

（1）在點P、Q運動過程中，請判斷PQ與對角線AC的位置關系，并說明理由；

（2）若點Q關于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N．

①當t為何值時，點P、M、N在一直線上？

②當點P、M、N不在一直線上時，是否存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

        

Answer 1

（1） 若0＜t≤5，則AP＝4t，AQ＝2t. 則 ＝＝，

又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴  ＝＝.

∴ ＝，  又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO

∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC.

當5﹤t≤10時，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC

∴ 在點P、Q運動過程中，始終有PQ⊥AC.

（2）①  如圖，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，

QM＝20－4t.

由AQ＋QM＝AM  得2t＋20－4t＝

解得t＝

∴ 當t＝時，點P、M、N在一直線上.

② 存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.

設l交AC于H.

如圖1，當點N在AD上時，若PN⊥MN，則∠NMH＝30°.

∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2×  解得t＝2，

如圖2，當點N在CD上時，若PM⊥MN，則∠HMP＝30°.

∴ MH＝2PH，同理可得t＝  .

故 當t＝2或  時，存在以PN為一直角邊的直角三角形.