Question

15．如圖，已知D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F(xiàn)為垂足，且BE=CF，∠BDE=30°，求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析 利用“HL”證明△BED和△CFD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠B=∠C，然后根據(jù)等角對等邊得到AB=AC，再求得∠B=60°，即可解答．

解答 證明：∵D是BC的中點，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角對等邊）．
∵∠BDE=30°，DE⊥AB，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

點評 本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是證明△BED≌△CFD．