Question

在圖1、圖2中，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，F(xiàn)是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點．
（1）如圖1，點D、E分別在AC、BC的延長線上，求證：△FGH是等腰直角三角形；
（2）將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖2，△FGH還是等腰直角三角形嗎？若是，請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)可以得出CE=CD，CA=CB，進而求出AD=BE，由三角形中位線的性質(zhì)可以求出HF=GF，∠HFG=90°，就可以求出結(jié)論；
（2）連結(jié)AD、BE，可以得出△ACD≌△BCE，就可以得出AD=BE，∠CAD=∠CBE，就可以得出∠BPQ=90°，進而求出∠GFH=90°而得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，
∴HF，GF分別是△AED和△BED的中位線，
∴HF=

1

2

AD，GF=

1

2

BE，HF∥AD，GF∥BE，
∴∠FMC+∠DCE=180°，∠FNC+∠DCE=180°．
∵∠DCE=90°，
∴∠FMC=∠FNC=90°，
∴∠GFH=90°．
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
∴AC+DC=BC+EC，
即AD=BE．
∴HF=GF，
∴△FGH是等腰直角三角形；
（2）△FGH是等腰直角三角形．
理由：連結(jié)AD、BE，設(shè)AD交BE于點P，交BC于點Q，
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=EC

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
∵F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，
∴HF，GF分別是△AED和△BED的中位線，
∴HF=

1

2

AD，GF=

1

2

BE，HF∥AD，GF∥BE，
∴HF=HF．
∵∠BQD+∠CBE=∠AQC+∠CAD=90°，
∴∠APB=90°．
同（1）可證∠HFG=90°，
∴△FGH是等腰直角三角形．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的中位線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．