Question

如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉α得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
（1）求證：DA∥BC；
（2）猜想線段DF、AF的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）利用等邊三角形的判定與性質得出∠DAB=∠ABC，進而得出答案；
（2）首先利用旋轉的性質以及全等三角形的判定方法得出△DBG≌△ABF（SAS），進而得出△BGF為等邊三角形，求出DF=DG+FG=AF+AF=2AF．

解答：（1）證明：由旋轉的性質可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∴DA∥BC；

（2）猜想：DF=2AF，
證明如下：如圖，在DF上截取DG=AF，連接BG，
由旋轉的性質可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
在△DBG和△ABF中，

DB=AB ∠BDG=∠BAF DG=AF

，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠DBG=∠ABF，
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，
∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，
又∵BG=BF，
∴△BGF為等邊三角形，
∴GF=BF，
又∵BF=AF，
∴FG=AF，
∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及旋轉的性質和等邊三角形的判定與性質等知識，熟練掌握等邊三角形的判定方法是解題關鍵．