Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，點P從B點出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運動至A點停止，則從運動開始經(jīng)過多少時間，△ABP為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）利用AAS先證明△ABC≌△CDA，可得AD=BC，AB=CD，所以可證四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）利用勾股定理先求得AC的長，再根據(jù)點P在BC上，點P在CD上，點P在AD上三種情況，結(jié)合等腰三角形的判定和勾股定理進行計算即可．

解答：解：（1）證明：在△ABC和△CDA中，∵

∠BAC=∠ACD=90° ∠B=∠D AC=CA

，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AD=BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=

BC2-AB2

=

52-32

=4．
設(shè)經(jīng)過ts時，△ABP為等腰三角形．當P在BC上時，
①BA=BP=3，即t=3時，△ABP為等腰三角形；
②BP=AP=

1

2

BC=

5

2

，即t=

5

2

時，△ABP為等腰三角形；
③AB=AP．過A作AE⊥BC，垂足為E，AE=

AB•AC

BC

=

12

5

．

在Rt△ABE中，BE=

AB2-AE2

=

32-( 12 5 )2

=

9

5

．
∴BP=2BE=

18

5

，即t=

18

5

時，△ABP為等腰三角形；
當P在CD上不能得出等腰三角形；
當P在AD上時，只能AB=AP=3，
∴BC+CD+DP=10，即t=10時，△ABP為等腰三角形．
答：從運動開始經(jīng)過

5

2

s或3s或

18

5

s或10s時，△ABP為等腰三角形．

點評：本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定及勾股定理等知識，注意要分情況考慮問題．