Question

如圖，已知A（-3，0），C（0，

3

），點(diǎn)B在x軸正半軸上，且OB=

1

3

OA．
（1）求出∠ABC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，連結(jié)MN，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，求t的值；
（3）在（2）的情況下，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A（-3，0），C（0，

3

），OB=

1

3

OA，利用三角函數(shù)即可得到答案．
（2）由（1）可以斷定三角形MNB的形狀，再利用三角形相似的性質(zhì)，得出比例線段得到答案．
（3）t的值確定，P點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到．

解答：解：（1）∵A（-3，0），C（0，

3

），
∴OA=3，OC=

3

點(diǎn)B在x軸正半軸上，且OB=

1

3

OA．
∴OB=1．
∴tan∠ABC=

CO

BO

=

3

，
∴∠ABC=60°．

（2）∵BM=BN=PM=PN=t，
∴四邊形BMPN是菱形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴

AM

AB

=

PM

BC

，
又∵OA=3，OC=

3

，OB=1，
根據(jù)勾股定理得：BC=2，
∴有

4-t

4

=

t

2

解之得：t=

4

3

．

（3）過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，
因?yàn)閠=

4

3

，所以BM=PM=

4

3

，
∠PMD=∠CBA=60°，
所以PD=

2 3

3

，DM=

2

3

，
∴OD=1，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1，

2 3

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算以及相似三角形的判定與性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)作輔助線．