Question

【題目】如圖,已知點(diǎn)A. B在雙曲線(xiàn)y= (x>0)上，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，AC與BD交于點(diǎn)P，P是AC的中點(diǎn).

(1)設(shè)A的橫坐標(biāo)為m，試用m、k表示B的坐標(biāo).

(2)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由.

(3)若△ABP的面積為3，求該雙曲線(xiàn)的解析式.

Answer 1

【答案】（1）B(2m,)；（2）四邊形ABCD是菱形，理由見(jiàn)解析；（3）y= .

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是m，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)得到點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，所以由“對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形”得到四邊形ABCD是菱形；

（3）由△ABP的面積為3，知BPAP=6．根據(jù)反比例函數(shù) y=中k的幾何意義，知本題k=OCAC，由反比例函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件P是AC的中點(diǎn)，得出OC=BP，AC=2AP，進(jìn)而求出k的值．

(1)∵A的橫坐標(biāo)為m，AC⊥x軸于C，P是AC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2m.

又∵點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)y=(x>0)上，

∴B(2m,).

(2)連接AD、CD、BC；

∵AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，

∴AC⊥BD；

∵A(m, ),B(2m, )，

∴P(m, )，

∴PD=PB，

又AP=PC，

∴四邊形ABCD是菱形；

(3)∵△ABP的面積為BPAP=3，

∴BPAP=6，

∵P是AC的中點(diǎn)，

∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是B點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，

又∵點(diǎn)A. B都在雙曲線(xiàn)y= (x>0)上，

∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，

∴OC=DP=BP，

∴k=OCAC=BP2AP=12.

∴該雙曲線(xiàn)的解析式是：y= .