Question

已知，四邊形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
分析：要證四邊形ABCD是等腰梯形，因?yàn)锳B=DC，所以只要證四邊形ABCD是梯形即可；又因?yàn)锳D≠BC，故只需證AD∥BC即可；要證AD∥BC，現(xiàn)有圖所示四種添作輔助線的方法，請(qǐng)任意選擇其中兩種圖形，對(duì)原題進(jìn)行證明．

Answer 1

此處選擇證A、D兩種情況．
A）證明：過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，交BC邊于點(diǎn)E，
∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．
∵AE∥DC，
∴∠DCB=∠AEB．
∴∠AEB=∠ABC．
∴AE=AB=DC．
∴四邊形ADCE為平行四邊形．
∴AD∥EC即AD∥BC．
∵AD≠BC，AB=DC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形．

D）證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ACB=∠DBC．
∵DG∥AC，
∴∠ACB=∠DGC．
∴∠DBC=∠DGC．
∴DG=DB=AC．
∴四邊形ADGC為平行四邊形．
∴AD∥GC即AD∥BC．
∵AD≠BC，AB=DC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形．
分析：此處選擇證A、D兩種情況，A）過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，交BC邊于點(diǎn)E，根據(jù)已知可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，從而得到∠ABC=∠DCB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠DCB=∠AEB，從而推出AE=AB=DC，根據(jù)有一組邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形ADCE為平行四邊形，從而推出AD∥EC即AD∥BC，又因?yàn)锳D≠BC，AB=DC，所以四邊形ABCD是等腰梯形．
D）同理可證明得四邊形ABCD是等腰梯形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定及等腰梯形的判定的理解及掌握情況．