Question

19．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．

解答 解：設(shè)EF=x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
∴BD=$\sqrt{2}$AB=$2\sqrt{2}$，EF=BF=x，
∴BE=$\sqrt{2}$x，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=ED，
∴BD=BE+ED=$\sqrt{2}$x+2=2$\sqrt{2}$，
解得：x=2-$\sqrt{2}$，
即EF=2-$\sqrt{2}$；
故答案為：2-$\sqrt{2}$

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；證明三角形是等腰三角形，列出方程是解決問題的關(guān)鍵．