Question

如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).

(1)請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀？并說(shuō)明為什么.

(2)若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？

 

 

Answer 1

【答案】

（1）如圖，四邊形EFGH是平行四邊形．

連接AC，BD，

∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴EF∥AC，EF=AC

同理HG∥AC，HG=AC

∴EF∥HG，EF=HG

∴EFGH是平行四邊形；

（2）四邊形ABCD的對(duì)角線垂直且相等．

∵四邊形EFGH為正方形，

∴EH⊥EF，EH=EF，

∵E、H、F分別是AB、DA、BC的中點(diǎn)，

∴EH=BD，EF=AC，

∴BD=AC，

∵EH為三角形ABD的中位線，

∴EH∥BD，

∴∠HEF=∠ENM=90°，

∵EF為三角形ABC的中位線，

∴EF∥AC，

∴∠AMN=90°，

∴AC⊥BD，

∴ABCD的對(duì)角線應(yīng)該互相垂直且相等．

【解析】（1）連接AC，利用中位線定理即可證明四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）由于四邊形EFGH為正方形，那么它的鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理可以推出四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)該互相垂直且相等