Question

如圖1，已知：拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線是y=x-2，連接AC．
（1）B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（，）、C（，），拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFC（頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在AB邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）令x=0，y=-2，
當(dāng)y=0代入y=x-2得出：x=4，
故B，C的坐標(biāo)分別為：
B（4，0），C（0，-2）．
y=x²-x-2．

（2）△ABC是直角三角形．
證明：令y=0，則x²-x-2=0．
∴x₁=-1，x₂=4．
∴A（-1，0）．
解法一：∵AB=5，AC=，BC=2．
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²．
∴△ABC是直角三角形．
解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
∴
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90度．
即∠ACB=90度．
∴△ABC是直角三角形．

（3）能．①當(dāng)矩形兩個(gè)頂點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖1，CO交GF于H．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴．
解法一：設(shè)GF=x，則DE=x，
CH=x，DG=OH=OC-CH=2-x．
∴S_矩形DEFG=x•（2-x）=-x²+2x=-（x-）²+．
當(dāng)x=時(shí)，S最大．
∴DE=，DG=1．
∵△ADG∽△AOC，
∴，
∴AD=，
∴OD=，OE=2．
∴D（-，0），E（2，0）．
解法二：設(shè)DG=x，則DE=GF=．
∴S_矩形DEFG=x•=-x²+5x=-（x-1）²+．
∴當(dāng)x=1時(shí)，S最大．
∴DG=1，DE=．
∵△ADG∽△AOC，
∴，
∴AD=，
∴OD=，OE=2．
∴D（-，0），E（2，0）．
②當(dāng)矩形一個(gè)頂點(diǎn)在AB上時(shí)，F(xiàn)與C重合，如圖2，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB．
∴．
解法一：設(shè)GD=x，
∴AC=，BC=2，
∴GF=AC-AG=-．
∴S_矩形DEFG=x•（-）=-x²+x
=-（x-）²+．
當(dāng)x=時(shí)，S最大．∴GD=，AG=，
∴AD=．
∴OD=∴D（，0）
解法二：設(shè)DE=x，
∵AC=，BC=2，
∴GC=x，AG=-x．
∴GD=2-2x．
∴S_矩形DEFG=x•（2-2x）=-2x²+2x=-2（x-）²+
∴當(dāng)x=時(shí)，S最大，
∴GD=，AG=．
∴AD=．
∴OD=
∴D（，0）
綜上所述：當(dāng)矩形兩個(gè)頂點(diǎn)在AB上時(shí)，坐標(biāo)分別為（-，0），（2，0）
當(dāng)矩形一個(gè)頂點(diǎn)在AB上時(shí)，坐標(biāo)為（，0）．
分析：（1）令x=0以及y=0代入y=x-2得出B，C的坐標(biāo)．把相關(guān)坐標(biāo)代入拋物線可得函數(shù)關(guān)系式．
（2）已知AB，AC，BC的值，根據(jù)反勾股定理可證明△ABC是直角三角形．
（3）證明△CGF∽△CAB，利用線段比求出有關(guān)線段的值．求出S_矩形DEFG的最大值．再根據(jù)△ADG∽△AOC的線段比求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及三角形相似的判定，考生要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)．