Question

（2013•高淳縣一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，cosA=

4

5

．以AB為直徑作半圓，圓心為O，半圓分別交BC、AC于點D、E．
（1）求證：CD=BD；
（2）求

CE

AE

的值；
（3）若過點D的直線與⊙O相切，且交AB的延長線于點P，交AC于點Q，求

CQ

BP

的值．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AD⊥BC，再由AB=AC，利用三線合一即可得證；
（2）連接EB，由AB為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到BE⊥EC，在直角三角形AEB中，由cos∠EAB的值，設設AE=4k，得到AB=5k，由CE=AC-AE=5k-4k=k，即可求出CE與AE的比值；
（3）連接OD，過B作BH垂直于PQ，由D為BD中點，O為AB中點，得到OD為三角形ABC的中位線，利用中位線定理得到OD平行與AC，由PQ為圓的切線，利用切線的性質得到OD垂直于PQ，進而得到AC，OD及BH互相平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對直角相等，再由一對對頂角相等及BD=CD，利用AAS得到三角形BDH與三角形CDQ全等，由全等三角形的對應邊相等得到BH=CQ，在Rt△PBH中，cos∠HBP=cos∠BCA，由cos∠BAC的值，求出cos∠HBP的值，即為BH與BP的比值，等量代換即可求出CQ與BP的比值．

解答：（1）證明：連結AD，
∵點D在以AB為直徑作半圓上，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴CD=BD；
（2）連結EB，
∵點E在以AB為直徑作半圓上，
∴BE⊥AC，
在Rt△AEB中，cos∠EAB=

4

5

，
∴

AE

AB

=

4

5

，
設AE=4k，則AB=5k，
又∵AB=AC，
∴CE=AC-AE=5k-4k=k，
∴

CE

AE

=

k

4k

=

1

4

；
（3）連結OD，
∵CD=BD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵過點D的直線PQ與⊙O相切，
∴OD⊥PQ，
過B作BH⊥PQ，H為垂足，
∴BH∥OD∥AC，
在△DBH和△DCQ中，

∠BHD=∠CQD=90° ∠BDH=∠CDQ BD=CD

，
∴△DBH≌△DCQ（AAS），
∴QC=BH，
在Rt△PBH中，cos∠HBP=

BH

BP

，
∴

BH

BP

=cos∠HBP=cos∠BAC，
∵cos∠BAC=

4

5

，
∴

BH

BP

=

4

5

，即

CQ

BP

=

4

5

．

點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)定義，以及等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．