Question

在平面直角坐標(biāo)系中，ΔABC滿足：∠C=90^。，AC=2，BC=1，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)開始在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨著在y軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)A在原點(diǎn)時(shí)，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB；
（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB；
（3）求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB的最大值，并確定此時(shí)圖形應(yīng)滿足什么條件

Answer 1

（1）當(dāng)A點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，如圖1、AC在y軸上，BC⊥y軸，     所以 OB=； （2）當(dāng)OA=OC時(shí)，如圖2，△OAC是等腰直角三角形， AC=2，    所以 ， OA=OC=。    過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OC，且CD與BE交于點(diǎn)D，則            又 BC=1，所以 CD=BD=，   BE=BD+DE-BD+OC=，   故 OB=； （3）如圖3，取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)OE、BE，   在Rt△AOC中， OE是斜邊AC上的中線，   所以 OE=AC=1，   在△ACB中，BC=1，CE=AC=1，    所以 BE=。   若點(diǎn)O、E、B在一條直線上，則 OB=OE+EB=1+，  所以當(dāng)O、E、B三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，OB取得最大值，最大值為 1+。