Question

如圖，一拋物線的頂點A為（2，-1），交x軸于B、C（B左C右）兩點，交y軸于點D，且B（1，0），坐標原點為O，
（1）求拋物線解析式．
（2）連接CD、BD，在x軸上確定點E，使以A、C、E為頂點的三角形與△CBD相似，并求出點E的坐標．
（3）若點M（m，1）是拋物線上對稱軸右側的一點，點Q也在拋物線上，點P在x軸上，是否存在以O、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點A為（2，-1），可設拋物線解析式為y=a（x-2）²-1，
把B（1，0）代入得，a-1=0，解得a=1，
∴y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令x=0，得y=3，∴D點坐標為（0，3）；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴C點坐標為（3，0）；
過A作AH⊥x軸，如圖，
易得△ODC和△ACH都為等腰直角三角形，BC=2，DC=3，AC=，
∴∠DCB=∠ACH=45°，
當以A、C、E為頂點的三角形與△CBD相似，則∠DCB=∠ACE=45°，
若CE：CB=CA：CD，即CE：2=：3，解得CE=，
∴OE=3-=，則E點坐標為（，0）；
若CE：CD=CA：CB，即CE：3=：2，解得CE=3，
∴OE=3-3=0，則E點坐標為（0，0）；

（3）存在．P點坐標為（-2，0）；（2，0）；（4+，0）．
分析：（1）設拋物線解析式為y=a（x-2）²-1，然后把B（1，0）代入計算求出a即可；
（2）先確定D點坐標為（0，3）；C點坐標為（3，0）；過A作AH⊥x軸，易得△ODC和△ACH都為等腰直角三角形，BC=2，DC=3，AC=，∠DCB=∠ACH=45°，然后分類討論：若CE：CB=CA：CD，即CE：2=：3；若CE：CD=CA：CB，即CE：3=：2，分別求出CE，即可確定E點坐標；
（3）先確定M（2+，1），然后分類討論：如圖，
當OP為對角線，則M與Q到x軸的距離相等，都為1，所以Q點在A點，求出AM的解析式，得到與x軸的交點G的坐標，P₁與O關于G對稱，可得P₁坐標；當OM為對角線，則MQ∥x軸，這樣可確定Q₂的坐標，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可確定P₂的坐標；同理可得到P₃的坐標．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題的解法：先通過合理的設拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法確定解析式，在分別求出個特殊點的坐標，利用坐標特點得到幾何性質(zhì)，然后利用幾何性質(zhì)解決問題．也考查了分類討論思想的運用、三角形相似的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．