Question

9．如圖，在△ABD中，AB=AD，將△ABD沿BD翻折，使點A翻折到點C．E是BD上一點，且BE＞DE，連結(jié)CE并延長交AD于F，連結(jié)AE．
（1）依題意補全圖形；
（2）判斷∠DFC與∠BAE的大小關系并加以證明；
（3）若∠BAD=120°，AB=2，取AD的中點G，連結(jié)EG，求EA+EG的最小值．

Answer 1

分析 （1）將△ABD沿BD翻折，使點A翻折到點C．E是BD上一點，且BE＞DE，連結(jié)CE并延長交AD于F，連結(jié)AE，據(jù)此畫圖即可；
（2）根據(jù)△ABE≌△CBE（SAS），可得∠BAE=∠BCE．再根據(jù)AD∥BC，可得∠DFC=∠BCE，進而得出∠DFC=∠BAE；
（3）連接CG，AC，根據(jù)EC+EG≥CG可知，CG長就是EA+EG的最小值，根據(jù)△ACD為邊長為2的等邊三角形，G為AD的中點，運用勾股定理即可得出CG=$\sqrt{3}$，進而得到EA+EG的最小值．

解答 解：（1）如圖所示：

（2）判斷：∠DFC=∠BAE．
證明：∵將△ABD沿BD翻折，使點A翻折到點C．
∴BC=BA=DA=CD．
∴四邊形ABCD為菱形．
∴∠ABD=∠CBD，AD∥BC．
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴∠BAE=∠BCE．
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCE．
∴∠DFC=∠BAE．
（3）如圖，連接CG，AC．

由軸對稱的性質(zhì)可知，EA=EC，
∴EA+EG=EC+EG，
根據(jù)EC+EG≥CG可知，CG長就是EA+EG的最小值．
∵∠BAD=120°，四邊形ABCD為菱形，
∴∠CAD=60°．
∴△ACD為邊長為2的等邊三角形．
又∵G為AD的中點，
∴DG=1，
∴Rt△CDG中，由勾股定理可得CG=$\sqrt{3}$，
∴EA+EG的最小值為$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了折疊問題，菱形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．