Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，四邊形BCED為平行四邊形．DE、AC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：點(diǎn)F為AC中點(diǎn)；
（2）試確定四邊形ADCE的形狀，并說明理由；
（3）若BC=3，AC=4，求四邊形ADCE的面積；
（4）若想四邊形ADCE為正方形，△ABC應(yīng)添加條件

AC=BC

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AFD=∠ACB=90°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可；
（2）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF=

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2

BC，然后求出DF=EF，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形判定即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得DE=BC，然后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解；
（4）△ABC應(yīng)添加條件是AC=BC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD⊥AB，然后求出∠ADC=90°，再根據(jù)一個(gè)角是直角的菱形是正方形證明即可．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∵四邊形BCED為平行四邊形，
∴DE∥BC，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴AF=FC，
故點(diǎn)F為AC中點(diǎn)；

（2）解：四邊形ADCE是菱形．
理由如下：∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF=

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2

BC，
又∵四邊形BCED為平行四邊形，
∴DE=BC，
∴DF=EF，
∴AC、DE互相垂直平分，
∴四邊形ADCE是菱形；

（3）解：∵BC=3，
∴DE=3，
又∵AC=4，
∴四邊形ADCE的面積=

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2

AC•DE=

1

2

×4×3=6；

（4）解：△ABC應(yīng)添加條件是AC=BC．
理由如下：∵AC=BC，D為AB中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
由（2）可知四邊形ADCE為菱形，
∴四邊形ADCE是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題型，主要利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的中位線定理，菱形的判定與面積等于對(duì)角線乘積的一半的求解方法，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，正方形的判定，要熟練掌握菱形與正方形的聯(lián)系與區(qū)別．