Question

20．如圖，等邊三角形ABC中，AB=3，點D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC，沿直線DE折疊△ABC，當點A的對應點A′與△ABC的中心O重合時，折痕DE的長為1．

Answer 1

分析 如圖所示，過點O作OF⊥AC，垂足為F．連接OA=OC．先求得AO的長，由翻折的性質可知AG=$\frac{1}{2}AO$，然后可求得∠ADE=60°，最后根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得DG的長度，從而可求得DE的長．

解答 解：如圖所示，過點O作OF⊥AC，垂足為F．連接OA=OC．

∵點O為等邊三角形的中心，
∴OA=OC．∠OAF=30°．
又∵OF⊥AC，
∴AF=CF=1.5
∴OA=$\frac{AF}{cos30°}$=$\frac{3}{2}×\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
由翻折的性質可知：AG=$\frac{1}{2}AO$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵DE∥BC，
∴∠ADG=∠B=60°．
∴$\frac{AG}{DG}=\sqrt{3}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{DG}=\sqrt{3}$．
∴DG=$\frac{1}{2}$．
∴DE=1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、特殊銳角三角函數(shù)值，由點A′與等邊三角形的中線重合求得AF、OA的長是解題的關鍵．