Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓（不含點A、B）上的一個動點，過C點的切線與AB的延長線交于點P．
（1）試探求∠A與∠P的數(shù)量關系；
（2）當∠PCB=30°時，證明：BP=AB；
（3）如果過點C的切線與AB的反向延長線相交，這時∠A的取值范圍是多少？

Answer 1

（1）解：∵CP是半圓O的切線，
∴∠PCB=∠A，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，∠ABC=90°-∠A，
又∵∠ABC=∠P+∠PCB=∠P+∠A，
∴90°-∠A=∠P+∠A，
整理得，2∠A+∠P=90°；

（2）證明：∵∠PCB=30°，
∴∠A=30°，
∴∠P=90°-2∠A=90°-2×30°=30°，
∴∠P=∠PCB，
∴BP=BC，
在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB，
∴BP=AB；

（3）解：過點C的切線與AB的反向延長線相交，則點C位于弧AB的中點左側(cè)，
∴∠A＞∠ABC，
∴∠A＞×90°=45°，
又∠A是Rt△ABC的銳角，
∴∠A的取值范圍是45°＜∠A＜90°．
分析：（1）根據(jù)弦切角定理可得∠PCB=∠A，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角表示出∠A與∠B的關系，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理即可得解；
（2）先求出∠PCB=∠P=30°，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BP=BC，然后根據(jù)直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得BC=AB，然后即可證明；
（3）過點C的切線與AB的反向延長線相交時，點C的位置在弧AB的中點左側(cè)，根據(jù)同圓中的弧與圓周角的關系可以求出∠A＞∠ABC，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余進行求解．
點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，弦切角定理，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)以及圓周角定理，熟記各性質(zhì)與定理是解題的關鍵．