Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點C作CE⊥BC于C，點A、E在BC的異側，點D在BC上，且BD=CE，連接DE．
求證：∠BAD=∠CDE．

Answer 1

分析：延長EC至E′，使CE′=CE，連接AE′、DE′，首先不難證得△ABD≌△ACE′，從而得出AD=AE′，∠BAD=∠CAE′，然后可由∠BAD+∠DAC=90°得出∠CAE′+∠DAC=90°，從而求出∠ADE′=45°，這樣根據(jù)∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-45°，∠E′DC=∠ADC-∠ADE′=∠ADC-45°，可得出結論．

解答：證明：延長EC至E′，使CE′=CE，連接AE′、DE′，
∵CE⊥BC，
∴∠DCE′=90°，
∵EC=E′C，
∴DE′=DE，
∴∠E′DC=∠EDC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE′=45°，
∴∠B=∠ACE′，
在△ABD與△ACE′中

AB=AC ∠B=∠ACE′ BD=CE′

∴△ABD≌△ACE′（SAS），
∴AD=AE′，∠BAD=∠CAE′，
∴∠ADE′=∠AE′D，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠CAE′+∠DAC=90°，
∴∠ADE′=45°，
∵∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-45°，∠E′DC=∠ADC-∠ADE′=∠ADC-45°，
∴∠BAD=∠E′DC，
∴∠BAD=∠CDE．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，綜合考查了中垂線、等腰三角形的知識，有一定的難度，解答本題要抓住等角轉換這一思想進行求解．