Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將Rt△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到Rt△A₁B₁C．
（1）如圖1，若連接AA₁，BB₁，則的值為______；
（2）如圖2，連接AB₁、BA₁，判斷S_△ACB1與S的大小關系，并說明你的理由；
（3）如圖3，設AB的中點為O，A₁B₁的中點為P，當θ=______時，OP⊥A₁C．

Answer 1

解：（1）根據(jù)旋轉的定義，旋轉角∠ACA₁=∠BCB₁，
∵Rt△A₁B₁C是Rt△ABC繞頂點C旋轉得到，
∴AC=A₁C，BC=B₁C，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴=，
∵cot30°==，
∴=；

（2）S_△ACB1=S_△A1CB．
理由如下：如圖2，作AM⊥B₁C于點M，作A₁N⊥CB于N，
則∠ACA₁+∠A₁CB=90°，
∠ACA₁+∠ACM=90°，
∴∠A₁CB=∠ACM，
在△ACM和△A₁CN中，
，
∴△ACM≌△A₁CN（AAS），
∴AM=A₁N，
又∵CB₁=CB，
∴S_△ACB1=S_△A1CB；

（3）如圖3，連接CO、PO，
∵AB的中點為O，A₁B₁的中點為P，
∴CO=PO=AO，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠ACO=60°，
∵OP⊥A₁C，
∴∠A₁CP=∠A₁CO=∠A=60°（等腰三角形三線合一），
∴∠ACA₁=∠ACO+∠A₁CO=60°+60°=120°，
即當θ=120°時，OP⊥A₁C．
故答案為：（1）；（3）120°．
分析：（1）根據(jù)旋轉角可得∠ACA₁=∠BCB₁，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得，AC=A₁C，BC=B₁C，然后證明△ACA₁和△BCB₁相似，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得=，再根據(jù)30°角的余切值解答即可；
（2）作AM⊥B₁C于點M，作A₁N⊥CB于N，根據(jù)同角的余角相等求出∠A₁CB=∠ACM，然后利用“角角邊”證明△ACM和△A₁CN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AM=A₁N，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等證明即可；
（3）連接CO、PO，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CO=PO=AO，然后求出∠A=60°，從而得到△ACO是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACO=60°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠A₁CP=∠A₁CO，然后求出∠ACA₁=120°，從而得解．
點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，等底等高的三角形的面積相等，綜合性較強，但難度不是很大．