Question

已知：拋物線以點C為頂點且過點B，拋物線以點B為頂點且過點C，分別過點B、C作x軸的平行線，交拋物線、于點A、D，且AB=AC．
（1）如圖1，①求證：△ABC為正三角形；②求點A的坐標；
（2）①如圖2，若將拋物線“”改為“”，其他條件不變，求CD的長；
②如圖3，若將拋物線“”改為“”，其他條件不變，求a₂的值；
（3）若將拋物線“”改為拋物線“”，其他條件不變，直接寫出b₁關(guān)于b₂的關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）
①證明：∵AB∥x軸，∴A、B關(guān)于y軸對稱，即AC=BC；
又∵AB=AC，∴AB=AC=BC；
即：△ABC是等邊三角形．
②設(shè)點A的坐標為（x，x²）（x＜0）；
在等邊△ABC中，x²=tan60°•（-x），解得：x₁=0、x₂=-
∴A（-，3）．

（2）設(shè)線段AB交拋物線y₁的對稱軸于點E，AE=BE=m（m＞0）；
①如圖（2）-①，在Rt△BCE中，BE=m，EC=m，則B（m，m+1）；
由于點B在y₁=x²+1的函數(shù)圖象上，所以有：
m+1=m²+1，解得：m=
∴AB=2BE=2m=2；
同（1）①可知，△BCD、△ABC都是等邊三角形，則CD=AB=2．
②設(shè)拋物線y₁=3x²+b₁x+c₁=3（x-h）²+k，則C（h，k）、B（h+m，k+m）；
由于點B在y₁=3（x-h）²+k上，有：
k+m=3m²+k，解得：m=
∴B（h+，k+1）；
則拋物線y₂=a₂（x-h-）²+k+1，代入C（h，k），得：
a₂×+k+1=k，解得：a₂=-3．

（3）由（2）②知，a₂=-a₁；
由（2）①知，CD=AB=m=|--（-）|=||，
而m=||（由（2）的解答過程可知），則：
||=||，解得：b₁+b₂=±2；
即：或 ．
分析：（1）①由于AB∥x軸，顯然點A、B關(guān)于拋物線y₁=x²的對稱軸對稱，可得AC=BC，已知AB=AC，那么△ABC必為等邊三角形；
②由拋物線y₁的解析式設(shè)出點A的坐標，再根據(jù)△ABC是等邊三角形列出點A橫、縱坐標的關(guān)系式，以此確定點A的坐標．
（2）①若稱AB與拋物線y₁對稱軸的交點為E，可設(shè)AE=BE=m（m＞0），在等邊△ABC中，CE=m，可用m表示出點B的坐標，代入拋物線解析式中即可求出m的值，則AB的長可求；在（1）的解答過程中，不難看出△ABC、△BCD都是等邊三角形，因此由CD=BC=AB即可得解；
②將y₁的解析式寫成頂點式，即：y₁=3（x-h）²+k，首先根據(jù)等邊△ABC的特點表達出點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線y₁的解析式中，由此求得m的值；拋物線y₂以點B為頂點，可先寫成頂點式，再將點A的坐標代入其中來確定a₂的值．
（3）由于這個小題并沒有說明按給出的三個圖求解，所以還需考慮拋物線y₂在y₁左側(cè)的情況，但解法是相同的，仍以y₂在y₁右側(cè)為例進行說明：
在（2）①的解答過程中，我們不難看出CD=AB=m=，而AB的長度正好是兩個拋物線對稱軸的差的絕對值，那么可以拿CD的長來作為等量關(guān)系列出關(guān)系式，據(jù)此求得b₁、b₂的關(guān)系式．
點評：該題是二次函數(shù)與等邊三角形的綜合題；隨著題目的深入，y₁解析式逐漸變的復雜，這也是題目的難點所在，只要抓住題目難度的遞進性，能夠把（2）的解答過程理解透徹，也就能掌握這道題的解題思路和方法；在解題過程中，要抓住等邊三角形和兩個拋物線頂點這三個關(guān)鍵條件，而最后一題中，沒有明示按給出的三個圖來解是容易丟解的地方．