Question

13．如果二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1，則此二次函數(shù)可表示為y=x²+px+q，我們稱[p，q]為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù)y=x²+2x+3的特征數(shù)是[2，3]．
（1）若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為[-2，1]，求此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）探究下列問(wèn)題：
①若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為[-4，5]，將此函數(shù)圖象先向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，求得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)．
②特征數(shù)[0，-1]的拋物線與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B，現(xiàn)將此拋物線向右平移，平移后得到的新拋物線與x軸交點(diǎn)從左到右依次為C、D，且BC=$\frac{1}{3}$AD，求平移后所得新函數(shù)的特征數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)特征數(shù)，寫出二次函數(shù)，利用配方法即可解決問(wèn)題．
（2）①根據(jù)特征數(shù)，寫出二次函數(shù)，再根據(jù)平移規(guī)律，寫出二次函數(shù)，即可解決問(wèn)題．
②由題意二次函數(shù)解析式為y=x²-1，可得A（-1，0），B（1，0），設(shè)向右平移m個(gè)單位，則C（-1+m，0），D（1+m，0），|BC|=|1-（-1+m）|=|2-m|，AD=1+m+1=2+m，由AD=3BC，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）由題意函數(shù)解析式為y=x²-2x+1=（x-1）²，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

（2）①由題意二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+5，
∴y=（x-2）²+1，
將此函數(shù)圖象先向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，可得y=（x+2）²-1，
∴y=x²+4x+3，
∴特征數(shù)是[4，3]．

②由題意二次函數(shù)解析式為y=x²-1，
∴A（-1，0），B（1，0），
設(shè)向右平移m個(gè)單位，
∴C（-1+m，0），D（1+m，0），
∴|BC|=|1-（-1+m）|=|2-m|，AD=1+m+1=2+m，
∵AD=3BC，
∴2+m=3|2-m|，
∴m=1或4，
∴y=x²-2x或y=x²-8x+15，
∴特征數(shù)為[-2，0]或[-8，15]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、配方法、平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．