Question

8．矩形ABCD中，AB=6，BC=6$\sqrt{3}$，半徑為$\sqrt{3}$的⊙P與線段BD相切于點M，圓心P與點C在直線BD的同側(cè)，⊙P沿線段BD從點B向點D滾動． 若⊙P與矩形ABCD的兩條對角線都相切，則tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 分兩種情形：當(dāng)點P在△BOC內(nèi)時，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠BOP=60°，求得BM=5，于是得到tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，當(dāng)點P在△DOC內(nèi)時，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠DOP=30°，于是得到tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{9}$；

解答 解：當(dāng)點P在△BOC內(nèi)時
∵⊙P與AC、BD相切，
∴∠BOP=60°，
∴OM=1，
∴BM=5，
此時tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
如圖4，當(dāng)點P在△DOC內(nèi)時，
∵⊙P與AC、BD相切，
∴∠DOP=30°，
∴OM=3，
∴BM=9，
此時tan∠PBM=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．