Question

15．給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱(chēng)該四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱(chēng)為這個(gè)四邊形的勾股邊．
（1）在你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中，寫(xiě)出兩種勾股四邊形的名稱(chēng)：矩形和直角梯形；
（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4）．請(qǐng)畫(huà)出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA，OB為勾股邊，且對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB；
（3）如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD，DC，已知∠DCB=30°．求證：四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義和勾股四邊形的性質(zhì)，有矩形或正方形或直角梯形滿足題意；
（2）OM=AB知以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的M共兩個(gè)：M（3，4）或M（4，3）．
（3）連接CE，證明△BCE是等邊三角形，△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形．

解答 解：（1）由題意可得：矩形、正方形、直角梯形均是勾股四邊形．

（2）如圖1所示：

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4）或（4，3）．

（3）連接CE，如圖2所示：
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE是等邊三角形，
∵∠DCB=30°，∠BCE=60°，
∴∠DCE=90°，
∴△DCE是直角三角形，
∴DC²+CE²=DE²，
即DC²+CE²=AC²，
∴四邊形ABCD是勾股四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，了解勾股四邊形的定義及性質(zhì)，難點(diǎn)在第三問(wèn)，注意等量代換法的應(yīng)用．