Question

9．已知∠AC0=45°，P是線段AC上任一點，（P不與A、C重合），連OP，作PE⊥OP，且PE=OP，連AE，試判斷AE和OA的位置關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

分析 作OG⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為G、F，首先利用等腰直角三角AOC，得出條件證得△OGP≌△PFE，OG=PF=AG，GP=EF，進(jìn)一步證得△AEF是等腰直角三角形得出結(jié)論AE⊥OA即可．

解答 AE⊥OA．
證明：如圖，

作OG⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為G、F，
∵∠AC0=45°，∠A0C=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴OA=OC，
∴OG=CG=AG，
∵PE⊥OP，
∴∠OPG+∠EPF=∠GOP+∠OPG=90°，
∴∠GOP=∠EPF，
在△OGP和△PFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOP=∠FPE}\\{∠OGP=∠EFP}\\{OP=PE}\end{array}\right.$，
∴△OGP≌△PFE，
∴OG=PF=AG，GP=EF，
∴AG-AP=PF-AP，
∴GP=AF=EF，
∴∠EAF=45°，
∴AOE=90°，
∴AE⊥OA．

點評 此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造出全等的三角形是解決問題的關(guān)鍵．