Question

在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC．試探索以下問題：

（1）當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE______ DB（填“＞”“＜”或“=”）．
（2）當點E為AB上任意一點時，如圖2，AE與DB的大小關(guān)系會改變嗎？請說明理由．
（3）在等邊三角形ABC中，若點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，當△ABC的邊長為1，AE=2時，CD的長為多少？

Answer 1

解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，點E是AB的中點，
∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，
∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∴∠DEC=120°，
∴∠DEB=120°-90°=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴BD=BE=AE，即AE=DB．
故答案為：=．

（2）當點E為AB上任意一點時，如圖2，AE與DB的大小關(guān)系不會改變．理由如下：
如圖2，過E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD=EF=AE，即AE=BD，

（3）解：CD=1或3，
理由是：分為兩種情況：
①如圖3，過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴=，
∴=，
∴BN=，
∴CN=1+=，
∴CD=2CN=3；

②如圖4，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴=，
∴=，
∴MN=1，
∴CN=1-=，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由（2）求出CD=3，當E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1．
點評：本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，解（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小題的關(guān)鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意，不要漏解啊．