Question

如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）證明：∵OC=CD，∠OCD=60°，
∴∠OCD是等邊三角形（有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）；

（2）當(dāng)∠α=150°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∠ADC=α=150°，
∵∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD直角三角形；

（3）當(dāng)AO=AD時(shí)，∠AOD=∠ADO=α-60°，
∴∠AOC=∠ADC=α，
∴2α+110°=360°，
∴α=125°，
當(dāng)DA=DO時(shí)，∠ADO=α-60°，
∴∠AOD=（180°-∠ADO）=（180°-α+60°）=120°-α，
∴120°-α+60°+α+110°=360°，
∴α=140°，
當(dāng)AO=OD時(shí)，∠ADO=α-60°，
∴∠AOD=180°-2（α-60°）=300°-2α，
∴300°-2α+110°+α+60°=360°，
∴α=110°．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OC=CD，∠OCD=60°，然后根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形判定即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ADC=α，然后求出∠ADO=90°，即可得解；
（3）分AO=AD時(shí)，表示出∠AOC=∠ADC=α，然后根據(jù)周角等于列式求解即可；
DA=DO時(shí)，先表示出∠ADO，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出∠AOD，然后根據(jù)周角列出方程求解即可；
AO=DO時(shí)，先表示出∠ADO，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出∠AOD，然后根據(jù)周角列出方程求解即可．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．