Question

如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AB，點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，連接AE．
（1）求證：BD=2AC；
（2）若AC²=DC•BC，求證：△AEC是等腰直角三角形．

Answer 1

（1）證明：由AD⊥AB得∠BAD=90°，
∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴AE=BD=BE，
即BD=2AE，
∵AE=BE，∴∠B=∠BAE，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=2∠B，
又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C，
∴AE=AC，
∵BD=2AE，
∴BD=2AC；

（2）∵AC²=DC•BC，
∴，
又∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA．
∴∠CAD=∠B，∴∠CAD=∠BAE，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠CAD+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
又∵AE=AC，
∴△AEC是等腰直角三角形．
分析：（1）由直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半知，AE=BE=BD，故∠B=∠BAE，由三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系知，AEC=2∠B，又由已知條件，∠C=2∠B，所以∠C=∠AEC而求得AE=AC=BD；
（2）由AC²=DC•BC可得△ACD∽△BCA，所以∠CAD=∠B=∠BAE，再由等量加等量還是等量知，∠CAD+∠EAD=90°即∠EAC=90°．
點(diǎn)評：本題利用了直角三角形的性質(zhì)，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對等角和等角對等邊，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．