Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動，點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運(yùn)動，B（4，2），以BE為直徑作⊙O₁．
（1）若點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)線段EF與線段OB交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G與⊙O₁的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在（1）的條件下，連結(jié)FB，幾秒時(shí)FB與⊙O₁相切？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

專題：動點(diǎn)型

分析：（1）要判斷點(diǎn)G與⊙O₁的位置關(guān)系，只需比較O₁G與⊙O₁的半徑O₁B的大小；
（2）如果t秒時(shí)FB與⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF與RT△OEF中，根據(jù)EF不變列出方程，求出t的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），
又∵OE：OF=1：2，∠OFE=∠EOB．
∴∠FGO=90°，
又∵BE為⊙O₁的直徑，
∴點(diǎn)G在⊙O₁上．

（2）過點(diǎn)B作BM⊥OF，設(shè)
OE=x，則OF=2x，
BF²=BM²+FM²=4²+（2x-2）²=4x²-8x+20，BE²=（4-x）²+2²=x²-8x+20，
又∵OE²+OF²=BE²+BF²，
∴x²+4x²=5x²-16x+40，
∴x=

5

2

（x＞0），
即

5

2

秒時(shí)，BF與⊙O₁相切．

點(diǎn)評：本題綜合考查了切線的判定，三角函數(shù)等知識，解題中要善于抓住不變量，找到等量關(guān)系，題目有一定難度，可以考查學(xué)生的綜合實(shí)力．