Question

如圖，以上各圖都是由同樣大小的圖形①按一定規(guī)律組成，其中第①個圖形中共有1個完整菱形，第②個圖形中共有5個完整菱形，第③個圖形中共有13個完整菱形，…，則第⑥個圖形中完整菱形的個數為（　　）

A．60

B．61

C．62

D．63

Answer 1

分析：寫出前三個圖形的菱形的個數，不難發(fā)現后一個圖形比前一個圖形多的菱形的個數是4的倍數，然后寫出第n個圖形的菱形的個數的通式，再把n=6代入進行計算即可得解．

解答：解：第①個圖形中共有1個完整菱形，S₁=1，
第②個圖形中共有5個完整菱形，S₂-S₁=5-1=4，
第③個圖形中共有13個完整菱形，S₃-S₂=13-5=8=4×2，
第④個圖形中共有25個完整菱形，S₄-S₃=25-13=12=4×3，
…，
依此類推，S_n-S_n-1=4（n-1），
所以，S₁+S₂-S₁+S₃-S₂+S₄-S₃+…+S_n-S_n-1=1+4+4×2+4×3+…+4（n-1），
所以，S_n=1+4[1+2+3+…+（n-1）]=1+4×

(1+n-1)(n-1)

2

=2n²-2n+1，
即S_n=2n²-2n+1，
當n=6時，S₆=2×6²-2×6+1=61．
故選B．

點評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查，根據前幾個圖形的菱形的數目，發(fā)現后一個圖形比前一個圖形多的菱形的個數是4的倍數是解題的關鍵，難點在于利用求和公式求出第n個圖形的菱形的數目的通項表達式．