Question

拋物線y=a（x+6）²-3與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，D為拋物線的頂點，直線DE⊥x軸，垂足為E，AE²=3DE．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）P為直線DE上的一點，且△PAC是以PC為斜邊的直角三角形，求tan∠PCA的值；
（3）M為拋物線上的一動點，過M作直線MN⊥DM，交直線DE于N，當M點在拋物線的第二象限的部分上運動時，是否存在使點E三等分線段DN的情況？若存在，請求出符合條件的所有的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）易知拋物線的頂點D（-6，-3），則DE=3，OE=6；
∵AE²=3DE=9，
∴AE=3，即A（-3，0）；
將A點坐標代入拋物線的解析式中，
得：a（-3+6）²-3=0，
即a=，
即拋物線的解析式為：y=（x+6）²-3=x²+4x+9；
（2）如圖2，連接AP．設P（-6，a），
∵A（-3，0），E（-6，0），C（0，9），
根據(jù)勾股定理，AE²+PE²+AC²=PC²，
即9+a²+9+81=6²+（a-9）²，
解得a=1，
P點坐標為（-6，1），AP===，
AC===3，
∴tan∠PCA===．

（3）設點M（a，b）（a＜0，b＞0），分兩種情況討論：
①當NE=2DE時，NE=6，即N（-6，6），已知D（-6，-3），則有：
直線MN的斜率：k₁=，直線MD的斜率：k₂=；
由于MN⊥DM，則k₁•k₂==-1，
整理得：a²+b²+12a-3b+18=0…（△），
由拋物線的解析式得：a²+4a+9=b，
整理得：a²+12a-3b+27=0…（□）；
（△）-（□）得：b²=9，即b=3（負值舍去），
將b=3代入（□）得：a=-6+3，a=-6-3，
故點M（-6+3，3）或（-6-3，3）；
②當2NE=DE時，NE=，即N（-6，），已知D（-6，-3），
則有：直線MN的斜率：k₁=，直線DM的斜率：k₂=；
由題意得：k₁•k₂==-1；
整理得：a²+b²+b+12a+=0，
而a²+12a-3b+27=0；兩式相減，得：2b²+9b+9=0，
解得b=-2，b=-，（均不符合題意，舍去）；
綜上可知：存在符合條件的M點，且坐標為：M（-6+3，3）或（-6-3，3）．
分析：（1）根據(jù)已知的拋物線解析式，可求得頂點D的坐標，即可求得DE、OE的長，根據(jù)AE2=3DE，可求出AE的值，進而可得到點A的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）設出點P的縱坐標為P（-6，a），根據(jù)勾股定理求出a的值，再求出AP、AC的值，從而得到tan∠PCA的值；
（3）此題比較復雜，需要分兩種情況考慮：
①NE=2DE，此時N（-6，6），可設出點M的坐標，然后分別表示出直線MN、直線MD的斜率，若兩條直線互相垂直，那么它們的斜率的積為-1，可據(jù)此得到關于M點橫、縱坐標的關系式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點M的坐標；
②2NE=DE，方法同①．
點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、直線與圓的位置關系、互相垂直兩直線的斜率關系等重要知識，綜合性強，難度很大．